Federico Moyúa nació el 19 de octubre de 1873 en la Plaza Nueva del Casco Viejo bilbaíno. Moyúa nació en el seno de una familia liberal. Tanto su padre, José Leopoldo Moyúa, como su abuelo paterno participarán activamente en la defensa de la villa durante el Sitio de Bilbao, impuesto en diciembre de 1873 por la tropas carlistas.
Federico Moyúa estudió Derecho en la Universidad de Deusto, aunque sólo ejerció como abogado un par de años. Residió en la plaza Elíptica, plaza que años después fue dedicada por el Ayuntamiento de Bilbao a su memoria. Moyúa fue presidente de la Sociedad Bilbaína en los años 1922 y 1923, vocal de la Unión Patriótica de Vizcaya y presidente de la Asamblea de la Cruz Roja de Vizcaya. De ideología liberal, en 1919 participará en la fundación de la Liga de Acción Monárquica.
Moyúa fue nombrado alcalde de Bilbao el 1 de enero de 1910, sustituyendo a Eugenio Martínez Sevilla, cargo que desempeñó hasta el 21 de noviembre de 1913, cuando fue sustituido por Benito María Marco Gardoqui. El 27 de febrero de 1924, tras el golpe militar de Primo de Rivera, Moyúa volverá a ser nombrado alcalde de Bilbao y se mantuvo en el cargo hasta el golpe militar de Dámaso Berenguer. El nuevo Gobierno le destituyó el 26 de febrero de 1930 y fue remplazado por Adolfo Gabriel González de Careaga Urquijo.
La gestión municipal de su primer periodo como alcalde se significó por la construcción y renovación de las escuelas públicas. La escasez y malas condiciones de éstas hizo que se aprobara, el 21 de octubre de 1910, un plan de dotación de escuelas y otros centros para la mejora de la enseñanza en la villa. Este plan no pudo llevarse a cabo en su momento y hubo que esperar a 1913, año en el que se aprobó el “arreglo escolar de la villa sobre la creación de escuelas y graduación de las existentes”, para comenzar la renovación y mejora de la instrucción pública en Bilbao. La mayoría de las escuelas de Bilbao pasaron a depender del Estado, que concedió al municipio bilbaíno la posibilidad de construir y mantener sus propios grupos escolares. Los grupos escolares de la villa se dividieron en nacionales: Atxuri, Cervantes, Berástegui, Concha, Casilla, Tívoli, Marzana y Castrejana; y municipales: Cortes, Urazurrutia, y Larrasquitu. Los grupos de Zorroza y Olaveaga fueron compartidos entre el Estado y el municipio. Durante el mandato de Moyúa las disposiciones llevadas a cabo fueron, entre otras: la instalación de la Escuela de Artes y Oficios en las dependencias del Antiguo Hospital Civil de Atxuri, estableciéndose también en dicha escuela la Enseñanza de Dependientes de Comercio; la creación de la Escuela Oficial de Capataces Facultativos Minas; el establecimiento de la Escuela Nocturna de Larraskitu y el restablecimiento de las Colonias Escolares Municipales.
Por otra parte, durante el mandato de Moyúa se sentaron las bases para la creación del Museo de Bellas Artes. Si bien la inauguración oficial del museo no tuvo lugar hasta febrero de 1914, en unas salas habilitadas en el edificio del Antiguo Hospital de Atxuri, fue en tiempos de Moyúa cuando se formalizó su construcción.
Durante la Dictadura de Primo de Rivera Moyúa, fue designado de nuevo alcalde de Bilbao. Durante este segundo mandato la aplicación del Real Decreto de 29 de octubre de 1924, por el cual a partir de 1 de enero de 1925 se anexionaban a Bilbao los territorios de Deusto, Begoña y Lutxana, fue lo que generó la mayoría de las actuaciones municipales. Con la Anexión de Deusto, Anexión de Begoña y la Anexión de Lutxana se incorporaron al municipio bilbaíno un total de 40,7 kilómetros cuadrados y 20.899 nuevos vecinos, por lo que el consistorio bilbaíno debía ampliar y dotar a estos nuevo terrenos de la infraestructura necesaria. Así pues, se inició el proyecto de la traída de aguas de Ordunte para poder abastecer al nuevo Bilbao, aunque habría que esperar hasta el 15 de julio de 1933 para su inauguración. El Ayuntamiento también ratificó el compromiso de construir un nuevo puente móvil que uniera los territorios de Deusto al Ensanche bilbaíno. El puente de Deusto fue proyectado por los ingenieros Ignacio Rotaeche Velasco y Ortiz de Artiñano.
Otro de los proyectos comenzados en esta época fue la realización de un nuevo mercado de abastos, que con posterioridad pasó a denominarse Mercado de la Ribera y que fue proyectado por el arquitecto Pedro Ispizua en el espacio del Mercado Antiguo de la villa. El mismo arquitecto fue el encargado de proyectar las obras de las nuevas escuelas de Atxuri. Otras obras menores fueron el Quiosco de la Música de El Arenal y la Pérgola del Parque del Ensanche.
En el apartado cultural debemos destacar el acuerdo del 20 de abril de 1927 por el que se fusionaban el Museo de Bellas Artes y el Museo de Arte Moderno, los cuales eran propiedad de la Diputación y el Ayuntamiento. El nuevo museo se denominaría Museo de Bellas Artes, y dentro de él se crearía una sección de Arte Moderno. Asimismo, el 27 de agosto de 1927 se aprobó la creación del Museo de Reproducciones Artísticas.
El 25 de febrero de 1930 fue cesado en su cargo y sustituido por Adolfo González de Careaga.
Javier Gil Fernández